Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons :

  • une petite taille,
  • une taille standard.

Les trois parties suivantes sont indépendantes.

 


Partie A


Un ballon de football est conforme à la réglementation s'il respecte, suivant sa taille, deux conditions à la fois (sur sa masse et sur sa circonférence).
En particulier, un ballon de taille standard est conforme à la réglementation lorsque sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [410 ; 450] et sa circonférence, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle [68 ; 70].


  1. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise, associe sa masse en grammes. On admet que \(X\) suit la loi normale d'espérance 430 et d'écart type 10. Déterminer une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de la probabilité \(P(410 \leqslant X \leqslant 450)\).
  2. On note \(Y\) la variable aléatoire qui, à chaque ballon de taille standard choisi au hasard dans l'entreprise associe sa circonférence en centimètres. On admet que \(Y\) suit la loi normale d'espérance 69 et d'écart type \(\sigma\). Déterminer la valeur de \(\sigma\), au centième près, sachant que 97\(\,\%\) des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation. On pourra utiliser le résultat suivant: lorsque \(Z\) est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, alors \(P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta) = 0,97\) pour \(\beta \approx 2,17\).

Partie B


L'entreprise affirme que 98\(\,\%\) de ses ballons de taille standard sont conformes à la réglementation. Un contrôle est alors réalisé sur un échantillon de 250 ballons de taille standard. Il est constaté que 233 d'entre eux sont conformes à la réglementation. Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de l'entreprise ? Justifier la réponse. (On pourra utiliser l'intervalle de fluctuation)


Partie C


L'entreprise produit 40\(\,\%\) de ballons de football de petite taille et 60\(\,\%\) de ballons de taille standard. On admet que 2\(\,\%\) des ballons de petite taille et 5\(\,\%\) des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. On considère les évènements : \(A\) : « le ballon de football est de petite taille », \(B\) : « le ballon de football est de taille standard », \(C\) : « le ballon de football est conforme à la réglementation» et \(\overline{C}\), l'évènement contraire de \(C\).


  1. Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilité.
  2. Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la règlementation.
  3. Montrer que la probabilité de l'évènement \(C\) est égale à \(0,962\).
  4. Le ballon de football choisi n'est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à \(10^{- 3}\).

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