Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\]On admettra que \(f\) est dérivable sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\). On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe \(\mathcal{C}\) représentative de \(f\)
ainsi que la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = x\).

  1. Démontrer que \(f\) est croissante sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).
  2. Résoudre l'équation \(f(x) = x\) sur l'intervalle \([0~;~+ \infty[\). On note \(\alpha\) la solution. On donnera la valeur exacte de \(\alpha\) puis on en donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.
  3. On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\)  \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\).
    Sur la figure de annexe 1 , en utilisant la courbe \(\mathcal{C}\) et la droite \(\mathcal{D}\), placer les points \(M_0, M_1\) et \(M_2\) d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives \(u_0,\: u_1\) et \(u_2\).
    Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite \(\left(u_n\right)\) ?
    1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel \(n\), \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\]où \(\alpha\) est le réel défini dans la question 2.
    2. Peut-on affirmer que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente ? On justifiera la réponse.
  4. Pour tout entier naturel \(n\), on définit la suite \(\left(S_n\right)\) par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
    1. Calculer \(S_0, \:S_1\) et \(S_2\). Donner une valeur approchée des résultats à \(10^{-2}\) près.
    2. Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme \(S_n\) pour la valeur de l'entier \(n\) demandée à l'utilisateur.
    3. Montrer que la suite \(\left(S_n\right)\) diverge vers \(+ \infty\).
  5. Annexe 1:
    Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignementde spécialité
    \[\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :}& n \text{ un entier naturel} \\ \text{Variables :} & u \text{ et } s \text{ sont des variables réelles}\\ & n \text{ et } i \text{ sont des variables entières}\\ \text{Initialisation :} & u \text{ prend la valeur } 1 \\ & s \text{ prend la valeur} u \\ & i \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Demander la valeur de } n \\ \text{Traitement :}&\text{ Tant que }\ldots\\ &\text{ Affecter à }i \text{ la valeur }i + 1\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ & \text{ Affecter à }s \text{ la valeur } \ldots\\ &\text{ Fin Tant que } \\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } s.\\ \hline \end{array}\]

 

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