Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.

Partie A :


Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à \(0,003\). On nomme \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

  1. Quelle est la loi suivie par \(X\) ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
  2. On répète \(2000\)  fois, de façon indépendante, l’expérience «texte epreuve » qui comporte 2 issues :

    • « Le cône est défectueux » considéré comme succès, de probabilité \(p=0,003\)
    • « Le cône n'est pas défectueux » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=0,997\)

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(2000\)  et \(0,003\) notée \(\mathscr{B}(2000;0,003)\) .

    Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 2000\), on a \[P(X=k)=\binom{2000}{k}\times \left(0,003\right)^k\times\left( 0,997\right)^{2000-k}\]

  3. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé; le résultat sera arrondi au millième.
  4. On cherche donc \(P(X \le 11) \approx 0,9801\).

     

    2ND DISTR AbinomFRép( 2000 , 0,003,11)EXE
    Avec une calculatrice de type TI \[binomFR\text{é}p(2000,0,003,11) \approx 0,9801\]

    \[P( X \leq 11)\approx 0,9801 \text{ à } 10^{-4} \text{ près.}\]

    La probabilité qu’un lot ne soit pas échangée est donc de \(98,01\%\).

 

Partie B :

 

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par \(Y\) la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. On suppose que \(Y\) suit une loi normale \(\mathcal{N}\left(110 ; \sigma^2\right)\), d'espérance \(\mu = 110\) et d'écart-type \(\sigma\). Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle [104 ; 116]. Déterminer une valeur approchée à \(10^{-1}\) près du paramètre \(\sigma\) telle que la probabilité de l'évènement «la glace est commercialisable » soit égale à \(0,98\).

On a donc :
\[ \begin{array}{ll} P(104 \le Y \le 116) = 0,98 & \Leftrightarrow P(-6 \le Y – 110 \le 6) = 0,98 \\ & \Leftrightarrow P\left(-\dfrac{6}{\sigma} \le \dfrac{Y – 110}{\sigma} \le \dfrac{6}{\sigma} \right) = 0,98 \end{array}\]

La variable aléatoire \( Z =\dfrac{Y – 110}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite.

On est donc ramené à trouver la valeur de \(x\) telle que \(P(-x \le Z \le x) = 0,98\)

Or \(P(-x \le Z \le x) = 2P(Z \le x) – 1\).

Par conséquent \(2P(Z \le x) – 1=0,98 \Leftrightarrow P(Z \le x) = \dfrac{1,98}{2} = 0,99\)

La calculatrice nous donne \(x \approx 2,326\).

2ND DISTR 3Fracnormale( \(0,99 \) )EXE
Avec une calculatrice de type TI

\[Fracnormale( 0,99 ) \approx 2,326\]

\[\pi^{-1}( 0,99)\approx 2,326 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.}\]

Par conséquent \(\dfrac{6}{\sigma} \approx 2,326\) et \(\sigma \approx \dfrac{6}{2,326}\)

Donc \(\sigma \approx 2,6\)

Partie C :

 

Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\(\,\%\). En 2010, sur \(900\) personnes interrogées, \(795\) d'entre elles déclarent consommer des glaces. Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\(\,\%\) et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ?

On note \(n = 900\) et \(p=0,84\).

\(n = 900 \ge 30\), \(np = 756 \ge 5\) et \(n(1 – p) = 144 \ge 5\).

Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \(95\%\).

\[\begin{array} {ll}I_{900} &= \left[0,84 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}};0,84 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}}\right] \\ & \approx [0,816;0,864] \end{array}\]

La fréquence observée est \(f = \dfrac{795}{900} \approx 0,883 \notin I_{900}\).

Le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces entre les années 2000 et 2010 n’est donc pas resté stable au risque d’erreur de \(5\%\).

 

 

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