Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), une courbe \(\mathcal{C}\) et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives \((0~;~1)\)  et \((-1~;~3)\).
Courbe On désigne par \(f\) la fonction dérivable sur \(\mathbb R\) dont la courbe représentative est \(\mathcal{C}\). On suppose, de plus, qu'il existe un réel \(a\) tel que pour tout réel \(x\), \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

    1. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}\) passe par le point A.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
    3. Démontrer que pour tout réel \(x\), \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    4. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point A. Déterminer la valeur du réel \(a\).
  1. D'après la question précédente, pour tout réel \(x\), \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
    1. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]- 1~;~0],\: f(x) > 0\).
    2. Démontrer que pour tout réel \(x\) inférieur ou égal à \(- 1, \:f'(x) > 0\).
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel \(c\) de l'intervalle \(\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]\) tel que \(f(c) = 0\). Justifier que \(c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\).
  2. On désigne par \(\mathcal{A}\) l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
    1. Ecrire \(\mathcal{A}\) sous la forme d'une intégrale.
    2. On admet que l'intégrale \(I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x\) est une valeur approchée de \(\mathcal{A}\) à \(10^{-3}\) près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale \(I\).

 

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