Fonctions homographiques; des exercices

 

 

\[ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} \]

 

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

Enoncé

Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :

  1. Une fonction homographique est toujours définie sur \(\mathbb R^{*} = ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\).
    \(\quad\)
  2. Une fonction homographique peut-être définie sur \(\mathbb R\) privé de \(1\) et \(3\).
    \(\quad\)
  3. La fonction \(x \mapsto \dfrac{2-x}{10-x}\) est une fonction homographique.
    \(\quad\)
  4. La fonction \(x \mapsto \dfrac{x^2+1}{x+4}\) est une fonction homographique.
    \(\quad\)
  5. Une équation quotient \(\dfrac{ax+b}{cx+d}=0\) admet pour solution \( -\dfrac{b}{a}\) et \(-\dfrac{d}{c}\).
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 2
Enoncé

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques?

  1. \(f:x\mapsto \dfrac{2x}{x+7}\)
    \(\quad\)
  2. \(g:x\mapsto \dfrac{2x-4}{x-2}\)
    \(\quad\)
  3. \(h:x \mapsto \dfrac{3x+8}{4+\sqrt{2}}\)
    \(\quad\)
  4. \(i:x \mapsto 5 – \dfrac{2x}{x – 8}\)
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 3
Enoncé

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par :

\[f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 5} \qquad g(x) = 3 – \dfrac{x}{x – 7}\]

  1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\) et \(g\).
    \(\quad\)
  2. Démontrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques.
    \(\quad\)
  3. Résoudre l’équation \(f(x)=g(x)\).
    \(\quad\)
Corrigé
 
Exercice 4
Enoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty;6[\cup]6;+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{2x-12}\).

  1. Reproduire et compléter le tableau de valeur suivant :
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&4&5&5,5&6,5&7&8 \\
    \hline
    f(x) & & & & & & & \\
    \hline
    \end{array}\]
    \(\quad\)
  2. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère.
    \(\quad\)
  3. Déterminer graphiquement puis retrouver par le calcul l’antécédent de \(-\dfrac{1}{3}\).
    \(\quad\)
Corrigé
Exercice 5
Enoncé

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. \(\dfrac{2x – 5}{x – 6} \ge 0\)
    \(\quad\)
  2. \(\dfrac{5x-2}{-3x+1} < 0\)
    \(\quad\)
  3. \(\dfrac{3x}{4x+9} > 0\)
    \(\quad\)
  4. \(\dfrac{2x – 10}{11x+2} \le 0\)
    \(\quad\)
Indication
Corrigé
Exercice 6
Enoncé

On s’intéresse à la fonction \(f\) définie par \(f(x) =\dfrac{x+4}{x+1}\)

  1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\)
    \(\quad\)
  2. Démontrer que \(f\) est une fonction homographique.
    \(\quad\)
  3. Démontrer que, pour tout \(x\) différent de \(-1\), on a \(f(x) = 1 + \dfrac{3}{x+1}\).
    \(\quad\)
  4. Soient \(u\) et \(v\) deux réels distincts et différents de \(-1\). Etablir que \(f(u) – f(v) = \dfrac{3(v-u)}{(u+1)(v+1)}\).
    \(\quad\)
  5. En déduire les variations de \(f\).
    \(\quad\)

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