Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 Nombres complexes

oui
non
S
Année 2018
Métropole Septembre
Nombres complexes

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(\text{O}, \vec{u}, \vec{v}\right)\). On prendra pour unité graphique le centimètre.

  1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0\).
  2. On considère les points A et B d'affixes respectives \(z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\) et \(z_{\text{B}} = 2\text{i}\).
    1. Écrire \(z_{\text{A}}\) et \(z_{\text{B}}\) sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
    2. Faire une figure et placer les points A et B.
    3. Déterminer une mesure de l'angle \(\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}\right)\).
  3. On note F le point d'affixe \(z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}\).
    1. Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
    2. En déduire une mesure de l'angle \(\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OF}}\right)\) puis de l'angle \(\left(\vec{u}, \vec{\text{OF}}\right)\).
    3. Calculer le module de \(z_{\text{F}}\) et en déduire l'écriture de \(z_{\text{F}}\) sous forme trigonométrique.
    4. En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\]
  4. Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.

 

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(\text{O}, \vec{u}, \vec{v}\right)\). On prendra pour unité graphique le centimètre.

  1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0\).
  2. Un produit de facteur est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc \(\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0 \iff z^2-2z+4=0\quad \text{ou} \quad z^2+4=0\)
    On s’intéresse à l’équation \(z^2-2z+4=0\)
    \(\Delta = (-2)^2-4\times 4=4-16=-12<0\)
    L’équation possède donc \(2\) racines complexes :
    \(z_1=\dfrac{2-\text{i}\sqrt{12}}{2}=1-\text{i}\sqrt{3}\) et \(z_2=\overline{z_1}=1+\text{i}\sqrt{3}\).
    \(\quad\)
    Ensuite \(z^2+4=0 \iff z^2=-4 \iff z=-2\text{i} \text{ ou } z=2\text{i}\).
    \(\quad\)
    Les solutions de \(\left(z^2-2z+4\right)\left(z^2+4\right)=0\) sont donc : \(-2\text{i}\) ; \(2\text{i}\) ; \(1-\text{i} \sqrt{3}\) et \(1+\text{i} \sqrt{3}\).
    \(\quad\)
  3. On considère les points A et B d'affixes respectives \(z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\) et \(z_{\text{B}} = 2\text{i}\).
    1. Écrire \(z_{\text{A}}\) et \(z_{\text{B}}\) sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
    2. \(\left|1+\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2\).
      Donc \(z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=2\text{e}^{\text{i} \pi/3}\)
      \(z_B=2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \pi/2}\).
      \(\quad\)
      On a \(\left|z_A\right|=\left|z_B\right|=2\).
      Les points \(A\) et \(B\) appartiennent donc au cercle de centre \(0\) et de rayon \(2\).
      \(\quad\)
    3. Faire une figure et placer les points A et B.
    4. AnnalesS sept2018cpx
    5. Déterminer une mesure de l'angle \(\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}\right)\).
    6. On a :
      \(\begin{align*} \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}&=\dfrac{2\text{e}^{\text{i}\pi/2}}{2\text{e}^{\text{i} \pi/3}} \\
      &=\text{e}^{\text{i}\left(\pi/2-\pi_3\right)} \\
      &=\text{e}^{\text{i} \pi/6}
      \end{align*}\)
      Une mesure de l’angle \(\left(\vec{OA};\vec{OB}\right)\) est \(\dfrac{\pi}{6}\) rad.
      \(\quad\)
  4. On note F le point d'affixe \(z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}\).
    1. Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
    2. En déduire une mesure de l'angle \(\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OF}}\right)\) puis de l'angle \(\left(\vec{u}, \vec{\text{OF}}\right)\).
    3. Voir figure
      \(\quad\)
      L’affixe de \(\vec{OA}\) est \(z_{\vec{OA}}=z_A\).
      L’affixe de \(\vec{BF}\) est \(z_{\vec{BF}}=z_F-z_B=z_A+z_B-z_B=z_A\).
      Par conséquent \(\vec{OA}=\vec{BF}\) et le quadrilatère \(OAFB\) est un parallélogramme.
      De plus \(OA=OB\) puisque \(A\) et \(B\) appartiennent au cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\).
      \(OAFB\) est donc un losange.
      \(\quad\)
    4. Calculer le module de \(z_{\text{F}}\) et en déduire l'écriture de \(z_{\text{F}}\) sous forme trigonométrique.
    5. Par conséquent \(\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)\).
      Une mesure de l’angle \(\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)\) est \(\dfrac{\pi}{12}\) rad.
      \(\quad\)
      On a \(\left(\vec{u};\vec{OF}\right)=\left(\vec{u};\vec{OA}\right)+\left(\vec{OA};\vec{OF}\right)\)
      Une mesure de l’angle \(\left(\vec{u};\vec{OF}\right)\) est donc \(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5}{12}\) rad.
      \(\quad\)
    6. En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\]
    7. \(z_F=z_A+z_B=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)\).
      Donc
      \(\begin{align*} \left|z_F\right|&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}+2\right)^2}\\
      &=\sqrt{1+3+4+4\sqrt{3}} \\
      &=\sqrt{8+4\sqrt{3}}
      \end{align*}\)
      Par conséquent \(z_F=\sqrt{8+4\sqrt{3}}\text{e}^{5\text{i}\pi/12}\).
      \(\quad\)
      On a donc : \(\sqrt{8+4\sqrt{3}}\text{e}^{5\text{i}\pi/12}=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)\)
      \(\iff \sqrt{8+4\sqrt{3}}\left(\cos\left(\dfrac{5\text{i}\pi}{12}\right)+\text{i} \sin\left(\dfrac{5\text{i}\pi}{12}\right)\right)=1+\text{i}\left(\sqrt{3}+2\right)\)
      Donc \(\cos\left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}\).
      \(\quad\)
  5. Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\]et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.
  6. Comparons les carrés de ces deux nombres.
    \(\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\)
    et
    \(\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{6+2-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\).
    Les carrés des deux nombres sont donc égaux.
    De plus les deux nombres sont positifs puisqu’une racine carré est toujours positif et \(\sqrt{6}>\sqrt{2}\).
    Par conséquent : \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
    \(\quad\)

 

 

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