Bac S 2014 Amérique du Nord Fonction exp

oui
S
Année 2014
Amérique du Nord
Fonction exp

Exercice 2 6 points

Commun à  tous les candidats
 
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par
\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]On note \(\mathcal{C}_{f}\) la représentation graphique de la fonction \(f\) et \(\mathcal{D}\) la droite d'équation \(y = x - 3\) dans un repère orthogonal du plan.
  Partie A : Positions relatives de \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{D}\)
  Soit \(g\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par \(g(x) = f(x) - (x - 3)\).

  1. Justifier que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\),  \(g(x) > 0\).
  2. La courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\mathcal{D}\) ont-elles un point commun ? Justifier.

  Partie B : Étude de la fonction \(g\) On note \(M\) le point d'abscisse \(x\) de la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), \(N\) le point d'abscisse \(x\) de la droite \(\mathcal{D}\) et on s'intéresse à l'évolution de la distance \(MN\).

  1. Justifier que, pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), la distance \(MN\) est égale à \(g(x)\).
  2. On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
    Pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), calculer \(g'(x)\).
  3. Montrer que la fonction \(g\) possède un maximum sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) que l'on déterminera.
    En donner une interprétation graphique.

    Partie C : Étude d'une aire
  On considère la fonction \(\mathcal{A}\) définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par
\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

  1. Hachurer sur le graphique donné en  annexe 1 (à rendre avec la copie)  le domaine dont l'aire est donnée par \(\mathcal{A}(2)\).
  2. Justifier que la fonction \(\mathcal{A}\) est croissante sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
  3. Pour tout réel \(x\) strictement positif, calculer \(\mathcal{A}(x)\).
  4. Existe-t-il une valeur de \(x\) telle que \(\mathcal{A}(x) = 2\) ?
 
 

Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par
\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\]On note \(\mathcal{C}_{f}\) la représentation graphique de la fonction \(f\) et \(\mathcal{D}\) la droite d'équation \(y = x - 3\) dans un repère orthogonal du plan.

  Partie A : Positions relatives de \(\mathcal{C}_{f}\) et \(\mathcal{D}\)
  Soit \(g\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par \(g(x) = f(x) - (x - 3)\).

  1. Justifier que, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\),  \(g(x) > 0\).


  2. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\),
    \(g(x)= 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} = \text{e}^{-x} \left( 5 - 3 \text{e}^{-x} \right) \). Comme \(\text{e}^{-x}>0\) (exponentielle), \(g(x)\) est du signe de \(5 - 3 \text{e}^{-x} \). \(5 - 3 \text{e}^{-x} > 0 \Leftrightarrow 5 > 3\text{e}^{-x} \Leftrightarrow \dfrac{5}{3} > \text{e}^{-x} \Leftrightarrow \ln \left( \dfrac{5}{3} \right) >-x \Leftrightarrow \ln \left( \dfrac{3}{5} \right) < x\) ce qui est toujours vrai car \(\ln \left( \dfrac{3}{5} \right)<0<x\)
    Amerique du Nord 2014 Tab signe-ex2
    Finalement, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), \(g(x)>0\).
  3. La courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\mathcal{D}\) ont-elles un point commun ? Justifier.

  4. La courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\mathcal{D}\) ont un point commun d'abscisse \(x\) si et seulement si \( f(x) = x-3\) soit \( g(x) = 0 \) ce qui n'est pas possible car on vient de voir que \(g(x) > 0\).
    La courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et la droite \(\mathcal{D}\) n'ont pas de point commun.

  Partie B : Étude de la fonction \(g\) On note \(M\) le point d'abscisse \(x\) de la courbe \(\mathcal{C}_{f}\), \(N\) le point d'abscisse \(x\) de la droite \(\mathcal{D}\) et on s'intéresse à l'évolution de la distance \(MN\).

  1. Justifier que, pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), la distance \(MN\) est égale à \(g(x)\).

  2. Comme \(M\) et \(N\) ont la même abscisse, pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[ \), \(MN = \mid f(x) - (x-3) \mid = \mid g(x) \mid = g(x) \) car \(g(x) >0\) d'après la première question.
  3. On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
    Pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), calculer \(g'(x)\).

  4. On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\). Si \(u\) est dérivable,\(\left( \text{e}^{u}\right)' = u' \text{e}^{u} \). La dérivée de \( x \mapsto \text{e}^{-x} \) est donc \( x \mapsto -\text{e}^{-x} \) et celle de \( x\mapsto \text{e}^{-2x} \) est \( x \mapsto -2 \text{e}^{-2x} \).
    Pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), \(g'(x) =- 5 \text{e}^{-x} + 2 \times 3 \text{e}^{-2x} = 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x}\).
  5. Montrer que la fonction \(g\) possède un maximum sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) que l'on déterminera.
    En donner une interprétation graphique.

  6. \(g\) étant dérivable sur \([0~;~+\infty[\), on étudie le signe de sa dérivée sur \([0~;~+\infty[\). Pour tout \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), \[\begin{array}{lll} g'(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x} \geqslant 0 & \\ & \Leftrightarrow 6 \text{e}^{-x} -5 \geqslant 0 & \text{on a divisé par } \text{e}^{-x}>0 \\[5pt] & \Leftrightarrow \text{e}^{-x} \geqslant \dfrac{5}{6} & \\[5pt] & \Leftrightarrow - x \geqslant \ln \left( \dfrac{5}{6} \right)& \text{croissance de la fonction } \ln \\[8pt] & \Leftrightarrow x \leqslant \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) \\ \end{array}\]En \( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) \), la dérivée s'annule en changeant de signe \( (+ ; -) \), donc \(g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) \) est un maximum pour \(g\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\). \(g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) = 5 \times \text{e}^{\frac{5}{6}}-3 \times \left( \text{e}^{\frac{5}{6}}\right)^2 = 5 \times \dfrac{5}{6} - 3 \times \left( \dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{36} = \dfrac{25}{12}\).
    La distance entre un point de la courbe \(\mathcal{C}_{f}\) et le point de même abscisse sur la droite \(\mathcal{D}\) est donc maximale lorsque \( x = \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) \). Cette distance maximale vaut \( \dfrac{25}{12}\)  unités.
    Remarque : Comme le repère est orthogonal (a priori pas orthonormé), il s'agit d'unité en ordonnée.)

    Partie C : Étude d'une aire
  On considère la fonction \(\mathcal{A}\) définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par
\[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\]

  1. Hachurer sur le graphique donné en  annexe 1 (à rendre avec la copie)  le domaine dont l'aire est donnée par \(\mathcal{A}(2)\).

  2. Justifier que la fonction \(\mathcal{A}\) est croissante sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).

  3. La fonction \(g\) est continue sur \( [0 ; +\infty [ \) et \( \mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\text{d}t \), la fonction \( \mathcal{A} \) est donc dérivable sur \( [0 ; +\infty [ \) et \( \mathcal{A}' = g >0 \). La fonction \(\mathcal{A}\) est donc bien croissante sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\)
  4. Pour tout réel \(x\) strictement positif, calculer \(\mathcal{A}(x)\).

  5. Pour tout réel \(x\) strictement positif, \[ \begin{array}{lll} \mathcal{A}(x) & = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\text{d}t & \\[8pt] &= 5\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t} \text{d}t - 3\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-2t} \text{d}t & \text{ par linéarité de l'intégrale} \\[8pt] & = 5\displaystyle \left[-\text{e}^{-t} \right]_0^x -3\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2t} \right]_0^x \\[8pt] &= 5\left( -\text{e}^{-x} +1 \right) - 3 \left( -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2} \right) & \\[8pt] & = 5 - 5 \text{e}^{-x}+ \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x} -\dfrac{3}{2} \\[8pt] \mathcal{A}(x)& = \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} \end{array} \]
  6. Existe-t-il une valeur de \(x\) telle que \(\mathcal{A}(x) = 2\) ?

  7. \(\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0\) On pose \( X = \text{e}^{-x} \)

    \[\begin{array}{lll} x \text{ solution de } \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0 & \Leftrightarrow X \text{ solution de } \dfrac{3}{2}X^2 - 5 X + \dfrac{3}{2}= 0 & \\ &\Leftrightarrow X \text{ solution de } 3X^2-10X+3=0 & \text{ équation du second degré} \\ &\Leftrightarrow X = \dfrac{1}{3} \text{ ou } X = 3 &\\ &\Leftrightarrow \text{e}^{-x} =\dfrac{1}{3} \text{ ou } \text{e}^{-x} = 3 & \text{on revient à } x \text{ et } X = \text{e}^{-x} \\ &\Leftrightarrow x = \ln 3 \text{ ou } x = - \ln 3 & - \ln \dfrac{1}{3} = -(-\ln 3) = \ln 3 \\ &\Leftrightarrow x = \ln 3 & \text{car } x \geqslant 0 \text{ et }-\ln 3 \text{ est strictement négatif } \end{array} \]
    Finalement, \(\mathcal{A}(x) = 2 \Leftrightarrow x = \ln 3\).

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