Bac STI2D Métropole Juin Equations différentielles

oui
STI2D
Année 2014
Métropole Juin
Fonction exp,Equations différentielles

Exercice 3 6 points


Equations différentielles

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ( °C) et le temps t est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. A l'instant \(t=0\), les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à -24 °C.

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps \(t\) par la fonction définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\) par \(f(t) =35e^{-1,6t}-30\).

  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
  3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  4. Résoudre par le calcul l’équation \(f(t)=-24\) et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction \(g\) de'finie et derivable sur l'intervalle \([0,+\infty[\), qui est solution de l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).
    1. Justifier que \(g(0) = 5\).
    2. Vérifier que la fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
  2. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

 

 

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Equations différentielles

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ( °C) et le temps t est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. A l'instant \(t=0\), les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à -24 °C.

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps \(t\) par la fonction définie sur l'intervalle \([0,+\infty[\) par \(f(t) =35e^{-1,6t}-30\).

  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. On calcule \(f(0,5)=35e^{-1,6 \times 0,5}-30=35e^{-0,8}-30\approx -14,3\)
    La température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes sera d'environ -14 °C
  3. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
  4. On calcule la dérivée et on étudie son signe : \[f'(t)=35\times (-1,6)e^{-1,6t} = -56e^{-1,6t}\]On a utilisé la formule de dérivation : \[\left (e^u\right )'=u'e^u\]Signe de la dérivée : La fonction exponentielle étant strictement positive sur \(\mathbb{R}\) on déduit que pour tout \(t\in [0;+\infty[\), on a \(f'(t)<0\)
    La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
  5. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  6. \(f(1,5)\approx -26,8 °C\) La température des ailerons sera conforme au cahier des charges car inférieure ou égale à -24 °C
  7. Résoudre par le calcul l’équation \(f(t)=-24\) et interpréter le résultat trouvé.
  8. \[\begin{array} {l l l} f(t)=-24& \iff 35e^{-1,6t}-30=-24 & \\ & \iff 35e^{-1,6t}=6 &\\ & \iff e^{-1,6t} =\dfrac{6}{35}&\\ & \iff -1,6t =\ln\left(\dfrac{6}{35}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{6}{35}\right)}{-1,6} & \\ & \iff t \approx 1,10 h &\\ \end{array}\] La température des ailerons atteindra -24 °C et sera donc conforme au cahier des charges au bout de 1h et 6 minutes et 9 secxondes.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction \(g\) de'finie et derivable sur l'intervalle \([0,+\infty[\), qui est solution de l'équation différentielle \(y' + 1,5y = -52,5\).

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\).
  2. L'équation différentielle \(y' + l,5y = -52,5\) se met sous la forme \(y' =1,5y -52,5\).
    Elle est du type \(y' =a y +b\) où \(a=-1,5\) et \(b=-52,5\), les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=C e^{a t} -\dfrac{b}{a}\) , soit ici
    \(g(t)=C e^{-1,5 t} -35\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
    Les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(t)=C e^{-1,5 t} -35\) où \(C\) désigne une constante réelle quelconque.
    1. Justifier que \(g(0) = 5\).
    2. \(g(0) = 5\) car l'instant \(t=0\), les ailerons, sont à une température de 5 °C.
    3. Vérifier que la fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
    4. \[g(0)=5\iff C e^{-1,5 \times 0} -35 =5 \]\[g(0)=5\iff C e^0 -35 =5 \]\[C=40\]La fonction \(g\) est définie par \( g(t)=40e^{-1,5t}-35\)
  3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
  4. On résout \(g(t)=-24\) \[\begin{array} {l l l} g(t)=-24& \iff 40e^{-1,5t}-35=-24 & \\ & \iff 40 e^{-1,5t}=11 &\\ & \iff e^{-1,5t} =\dfrac{11}{40}&\\ & \iff -1,5t =\ln\left(\dfrac{11}{40}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{11}{40}\right)}{-1,5} & \\ & \iff t \approx 0,86 h \approx 52 \, min &\\ \end{array}\] Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide.

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