Bac STI2D Antilles Guyane 22 juin 2015 : Equations différentielles

oui
STI2D
Année 2015
Antilles Guyanne
Equations différentielles

Exercice 5 4 points


Equations différentielles


On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

  • une source de tension continue \(E\) de 10 V.
  • une résistance \(R\) de \(10^5\)\: \(\Omega\).
  • un condensateur de capacité \(C\) de \(10^{-6}\) F.


On note \(u\) la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension \(u\) est une fonction du temps \(t\) exprimé en seconde. La fonction \(u\) est définie et dérivable sur \([0~;~+oo[\) ; elle vérifie l'équation différentielle suivante : \[RCu' + u = E\]où \(u'\) est la fonction dérivée de \(u\).

  1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : \[u' + 10u = 100\]
    1. Déterminer la forme générale \(u(t)\) des solutions de cette équation différentielle.
    2. On considère qu'à l'instant \(t = 0\), le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction \(u\) tel que \(u(0) = 0\).
    3. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en \(+ \infty\) de la fonction \(u\) ainsi obtenue. En donner une interprétation.
  2. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction \(u\) qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle \(T\) le temps de charge en seconde pour que \(u(T)\) soit égal à \(95\)% de \(E\).
    1. Déterminer graphiquement le temps de charge \(T\).
    2. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.

  3. Sans modifier les valeurs respectives de \(E\) et de \(C\), déterminer la valeur de \(R\) afin que le temps de charge \(T\) soit multiplié par \(2\).
 

Exercice 5 4 points


Equations différentielles


On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

  • une source de tension continue \(E\) de 10 V.
  • une résistance \(R\) de \(10^5\)\: \(\Omega\).
  • un condensateur de capacité \(C\) de \(10^{-6}\) F.


On note \(u\) la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension \(u\) est une fonction du temps \(t\) exprimé en seconde. La fonction \(u\) est définie et dérivable sur \([0~;~+oo[\) ; elle vérifie l'équation différentielle suivante : \[RCu' + u = E\]où \(u'\) est la fonction dérivée de \(u\).

  1. Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : \[u' + 10u = 100\]
  2. Avec \(R=10^5, C=10^{-6}\) et \(R=10\), la fonction \(u\) vérifie l'équation différentielle suivante : \[\begin{array}{rl} RCu' + u = E & \iff 10^5\times 10^{-6}u'+ u = 10 \\ & \iff 10^{-1}u'+ u = 10 \\ &\iff u′+10⁢u=100 \end{array}\]Ainsi, la fonction u vérifie l'équation différentielle \(u′+10⁢u=100\)
    1. Déterminer la forme générale \(u(t)\) des solutions de cette équation différentielle.
    2. Les solutions de l'équation différentielle \(y′=a⁢y+b\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto k⁢e^{a⁢x}-\frac{b}{a}\), où \(k\) est une constante réelle quelconque. Ici \(u′+10⁢u=100 \iff u’= -10u+100\) est du type \(y′=a⁢y+b\) où \(a= -10\) et \(b= 100\), on a \(-\frac{b}{a}= -\frac{100}{-10}= 10\).
      Les solutions sur \([0;+\infty[\) de l'équation différentielle \(u′=- 10⁢u+100\) sont les fonctions définies sur \([0;+\infty[\) par \(u(⁡t)=k⁢e^{-10t}+10 \) où \(k\) est une constante réelle quelconque.
    3. On considère qu'à l'instant \(t = 0\), le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction \(u\) tel que \(u(0) = 0\).
    4. La condition \(u⁡(0)=0\) équivaut à \(k⁢e^0+10=0\) d'où \(k=-10\)
      La fonction \(u\) est définie sur \([0;+\infty[\) par \(u(⁡t)=-10⁢e^{-10t}+10 \)
    5. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en \(+ \infty\) de la fonction \(u\) ainsi obtenue. En donner une interprétation.
    6. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~(-10t)=-\infty\\ \lim\limits_{X \to-\infty}~e^X=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par composée } \lim\limits_{t \to +\infty}~e^{-10t}=0\) puis \(\lim\limits_{t \to +\infty}~10-10e^{-10t}=10\)
      Ainsi \(\lim\limits_{t \to +\infty}~u(t)=10\).
      À partir d'un certain temps, la tension aux bornes du condensateur est très proche de 10 volts.
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction \(u\) qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées. On appelle \(T\) le temps de charge en seconde pour que \(u(T)\) soit égal à \(95\)% de \(E\).
    1. Déterminer graphiquement le temps de charge \(T\).
    2. Le temps de charge T est d'environ 0,3 secondes.
    3. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
    4. \[\begin{array}{rl} -10⁢e^{-10t}+10 = 0,95\times 10 &\iff -10⁢e^{-10t} = -0,5 \\ &\iff ⁢e^{-10t} = 0,05 \\ &\iff \ln \left( ⁢e^{-10t}\right) = \ln(0,05 ) \\ &\iff -10t = \ln(0,05 ) \\ &\iff t = -0,1 \ln(0,05 ) \\ \end{array}\]
      Le temps de charge en seconde pour que \(u⁡(T)\) soit égal à 95 % de \(E\) est \(t = -0,1 \ln(0,05 )\) soit environ 0,3 secondes.
  4. Sans modifier les valeurs respectives de \(E\) et de \(C\), déterminer la valeur de \(R\) afin que le temps de charge \(T\) soit multiplié par \(2\).
    • Soit \(v\) la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur, la fonction \(v\) vérifie l'équation différentielle suivante : \[R\times 10^{-6}⁢v′+v=10\iff v′=-\frac{10^6}{R⁢}v+\frac{10^7}{R}\]
    • Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur \([0;+\infty[\) par \(v⁡(t)=k⁢e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10\) où \(k\) est une constante réelle quelconque.
    • La condition \(v(⁡0)=0\) équivaut à \(k⁢e^0+10=0\) d'où \(k=-10.\)
    • Par conséquent, la fonction \(v\) est définie sur \([0;+\infty[\) par \(v⁡(t)=-10e^{-\frac{10^6}{R⁢}t}+10\) Le temps de charge \(T\) est multiplié par 2 pour \(R\) solution de l'équation \[\begin{array}{rl} -10e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T }+10 = 10-10 e^{-10T}&\iff e^{- \frac{10^6}{R}\times 2T } = e^{-10T}\\ &\iff - \frac{10^6}{R}\times 2T =-10T \\ &\iff \\ &\iff - \frac{10^6}{R}= -10\\ &\iff R= 2\times 10^5 \end{array}\]
  5. Le temps de charge T est multiplié par 2 avec une résistance \(R\) de \(2\times 10^5\;\Omega\).
 

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