Bac STI2D Métropole 18 juin 2015 : Fonction exp et Equations différentielles

oui
STI2D
Année 2015
Métropole Juin
Fonction exp,Equations différentielles

Exercice 2 5 points


Equations différentielles et fonction exponentielle


Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à \(10^{-2}\) près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (\(mW\)), s'atténue au cours de la propagation. On note \(P_E\) et \(P_S\) les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur \(L\) exprimée en kilomètres (\(km\)), la relation liant \(P_E\) , \(P_S\) et \(L\) est donnée par : \(P_S = P_E\times e^{-aL}\) où \(a\) est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

  • la puissance du signal à l'entrée de la fibre est \(7~ mW\) ;
  • à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins \(0,08~ mW\);
  • pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à \(0,08~ mW\).

 

Partie A

Le premier type de fibre de longueur 100 \(km\) utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire \(a = 0,046\). Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction \(g\) de la variable \(x\), où \(x\) étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction \(g\) est définie et dérivable sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle \(y' + 0,035y = 0\).

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + 0,035y = 0\).
    1. Sachant que \(g(0) = 7\), vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) par \(g(x) = 7e^{-0,035x}\).
    2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
    1. Étudier le sens de variation de la fonction \(g\)
    2. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).
    1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 \(km\) de propagation?
    2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

 

 

 

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Equations différentielles et fonction exponentielle


Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à \(10^{-2}\) près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (\(mW\)), s'atténue au cours de la propagation. On note \(P_E\) et \(P_S\) les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre. Pour une fibre de longueur \(L\) exprimée en kilomètres (\(km\)), la relation liant \(P_E\) , \(P_S\) et \(L\) est donnée par : \(P_S = P_E\times e^{-aL}\) où \(a\) est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

  • la puissance du signal à l'entrée de la fibre est \(7~ mW\) ;
  • à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins \(0,08~ mW\);
  • pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à \(0,08~ mW\).

 

Partie A
Le premier type de fibre de longueur 100 \(km\) utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire \(a = 0,046\). Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

Le coefficient d'atténuation linéaire \(a = 0,046\) donc \(P_S = 7\times e^{-0,046 \times 100 }\approx 0,07\)

\(P_S < 0,08\) donc il sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie.
Pour \(L= 100 km \);

Partie B

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction \(g\) de la variable \(x\), où \(x\) étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction \(g\) est définie et dérivable sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle \(y' + 0,035y = 0\).

    1. Résoudre l'équation différentielle \(y' + 0,035y = 0\).
    2. Déjà on met cette équation sous forme résolue : \(y' + 0,035y = 0 \iff y'=-0,035y \) Cette équation différentielle est du type \(y'= a y\) où \(a= -0,035\)



La solution générale de cette équation est \(y= Ce^{-0,035x}\) où \(C\in \mathbb R\)

        1. Sachant que \(g(0) = 7\), vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) par \(g(x) = 7e^{-0,035x}\).
        2. \(g\) est une solution de l'équation différentielle donc \(g(x)= Ce^{-0,035x}\) \[\begin{array}{rl} g(0)=7 &\iff Ce^{-0,035 \times 0 }= 7\\ & \iff Ce^{ 0 }= 7\\ & \iff C = 7\\ \end{array}\]

      La fonction \(g\) est donc bien définie sur l'intervalle \([0 ;+\infty[\) par \(g(x) = 7e^{-0,035x}\).
        1. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
        2. \(a= 0,035\)


      Le coefficient d'atténuation de cette fibre est \(a = 0,035\).
        1. Étudier le sens de variation de la fonction \(g\)
        2. Pour cela on étudie le signe de la dérivée. \[\begin{array}{rl} g'(x)&= 7\times \left(-0,035\right)e^{-0,035x}\\ &=-0,245e^{-0,035x}\\ \end{array}\]On a ici utilsé la formuule de dérivation \[\left(e ^u \right)'=u'e^u\]Etudions alors le signez de la dérivée :

          Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) et comme \(-0,035<0\) on déduit \( g'(x) < 0\) ce qui prouve que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([0 ;+\infty[\)
        1. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).
        2. \(\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty } -0,035x=-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~e ^t = 0 \end{array}\right\}\) par composée on obtient: \(\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0\)


      \(\lim\limits_{x \to + \infty}~g(x) =0\)
        1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 \(km\) de propagation?
        2. Pour savoir si le signal sera encore détecté au bout de 100 \(km\) de propagation, on calcule \(g(100) = 7e^{-0,035 \times 100}=7e^{- 3,5 }\approx 0,21\).

          Or \(0,21 > 0, 08\)


      Le signal sera donc encore détecté au bout de 100 \(km\) de propagation.
      1. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
    1. On cherche le plus grand réel \(x\) tel que \(g(x)\leq 0, 08\) \[\begin{array}{rll} g(x)\leq 0, 08& \iff 7e^{-0,035x} \leq 0,08&\\ & \iff e^{-0,035x} \leq \dfrac{0,08}{7}&\\ & \iff \ln\left(e^{-0,035x} \right)\leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)& \text{ car la fonction } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0 ;+\infty[ \\ &\iff -0,035x \leq \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)&\\ &\iff x \geq \dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}&\text{ en divisant par } -0,035 < 0\\ \end{array}\]\[\dfrac{ \ln\left( \dfrac{0,08}{7}\right)}{-0,035}\approx 127,76\]


La longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est environ 128 \(km\).

 

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