Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016 : Spécialité

oui
S
Année 2016
Antilles Guyanne
Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(a_n\) la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de \(n\) jours d'intervention, et \(b_n\) la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de \(n\) jours. Ainsi \(a_0 = 0,4\) et \(b_0 = 0,6\).

Partie A

 

  1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer \(a_1\) et \(b_1\).
  3. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
  4. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}\). On pose \(X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\).
    1. Justifier que pour tout entier naturel \(n, \:X_{n+1} = AX_n\).
    2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n,\: X_n = A^n X_0\).
    3. Calculer, à l'aide de la calculatrice, \(X_{30}\). En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).

 

Partie B

 

  1. On pose \(D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}\).
    1. Justifier que, pour tout entier naturel \(n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1\).
    2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[X_{n+1} = DX_n + B.\]
  2. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(Y_n = X_n - 10B\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(Y_{n+1} = DY_n\).
    2. On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(Y_n = D^nY_0\). En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \:\(X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B\).
    3. Donner l'expression de \(D^n\) puis en déduire \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(n\).
  3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(a_n\) la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de \(n\) jours d'intervention, et \(b_n\) la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de \(n\) jours. Ainsi \(a_0 = 0,4\) et \(b_0 = 0,6\).

Partie A

 

  1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.

  2. où on appelle \(F_n\) l’événement “l’ordinateur est défaillant le jour \(n\)”.

  3. Déterminer \(a_1\) et \(b_1\).
  4. On a \(a_0=0,4\) et \(b_0=0,6\)
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    \(a_1=0,4\times 0,97+0,6\times 0,07 = 0,43\)
    Donc \(b_1=1-a_1=0,57\).
  5. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
  6. D’après la formule des probabilités totales on a :
    \(a_{n+1}=a_n\times 0,97+b_n\times 0,07\) et \(b_{n+1}=a_n\times 0,03+b_n\times 0,93\).
    \(\quad\)
  7. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}\). On pose \(X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\).
    1. Justifier que pour tout entier naturel \(n, \:X_{n+1} = AX_n\).
    2. \(AX_n=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,07b_n\\0,03a_n+0,93b_n\end{pmatrix}=X_{n+1}\)
      \(\quad\)
    3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n,\: X_n = A^n X_0\).
    4. Initialisation : Si \(n=0\), \(A^0X_0=I_2X_0=X_0\) où \(I_2\) est la matrice identité.
      La propriété est vraie au rang \(0\).
      \(\quad\)
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang \(n\) : \(X_n=A^nX_0\)
      \(X_{n+1}=AX_n=A\times A^nX_0=A^{n+1}X_0\)
      La propriété est vraie au rang \(n+1\).
      \(\quad\)
      Conclusion : La propriété est vraie au rang \(0\) et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\) : \(X_n=A^nX_0\).
      \(\quad\)
    5. Calculer, à l'aide de la calculatrice, \(X_{30}\). En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
    6. \(X_{30}\approx \begin{pmatrix}0,687\\0,313\end{pmatrix}\)
      Cela signifie donc, qu’au bout de \(30\) jours, \(68,7\%\) des ordinateurs n’ont pas de failles de sécurité.
      \(\quad\)

 

Partie B

 

  1. On pose \(D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}\).
    1. Justifier que, pour tout entier naturel \(n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1\).
    2. A tout instant, un ordinateur présente ou ne présente pas de failles de sécurité donc \(a_{n+1}+b_{n+1}=1\) pour tout entier naturel \(n\).
      \(\quad\)
    3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \[X_{n+1} = DX_n + B.\]
    4. \(DX_n+B=\begin{pmatrix}0,9a_n+0,07\\0,09b_n+0,03\end{pmatrix}\)
      Or :
      \(\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,07b_n \\ &=0,97a_n+0,07\left(1-a_n\right) \\ &=0,07-0,9a_n
      \end{align*}\)
      Et
      \(\begin{align*} b_{n+1}a&=0,03a_n+0,93b_n\\ &=0,03\left(1-b_n\right)+0,93b_n \\ &=0,03+0,9b_n
      \end{align*}\)
      Pour tout entier naturel \(n\), on a \(X_{n+1}=DX_n+B\).
      \(\quad\)
  2. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(Y_n = X_n - 10B\).
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(Y_{n+1} = DY_n\).

    2. \[\begin{align*}Y_{n+1}&=X_{n+1}-10B \\ &=DX_n+B-10B\\ &=DX_n-9B\\ &=DX_n-10DB\\ &=D\left(X_n-10B\right)\\ &=DY_n
      \end{align*}\]
    3. On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(Y_n = D^nY_0\). En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \:\(X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B\).
    4. Pour tout entier naturel \(n\) on a :
      \(X_n=Y_n+10B=D^nY_0+10B=D^n\left(X_0-10B\right)+10B\)
      \(\quad\)
    5. Donner l'expression de \(D^n\) puis en déduire \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(n\).
    6. Pour tout entier naturel \(n\) on a \(D^n=\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0&0,9^n\end{pmatrix}\)
      Donc \(a_{n+1}=0,9^n(0,4-0,7)+0,7 = -0,3\times 0,9^n+0,7\)
      Et \(b_{n+1}=0,9^n(0,6-0,3)+0,3=0,3\times 0,9^n+0,3\)
      \(\quad\)
  3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?
  4. \(-1<0,9<1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0\)
    Par conséquent \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,7\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0,3\).
    Sur le long terme, \(70\%\) des ordinateurs seront sains et \(30\%\) présenteront des failles de sécurité.
 

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