Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 : Fonction exponentielle

oui
non
S
Liban
Fonction exp

Exercice 3 : 3 points


Fonctions


On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d'équation \(y = \text{e}^x\), tracée ci-dessous.

Pour tout réel \(m\) strictement positif, on note \(\mathcal{D}_m\) la droite d'équation \(y = mx\).

  1. Dans cette question, on choisit \(m = \text{e}\). Démontrer que la droite \(\mathcal{D}_{\text{e}}\), d'équation \(y = \text{e}x\), est tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) en son point d'abscisse 1.
  2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif \(m\), le nombre de points d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}\) et de la droite \(\mathcal{D}_m\).
  3. Démontrer cette conjecture.
 

Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


Fonctions


On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d'équation \(y = \text{e}^x\), tracée ci-dessous.

Pour tout réel \(m\) strictement positif, on note \(\mathcal{D}_m\) la droite d'équation \(y = mx\).

  1. Dans cette question, on choisit \(m = \text{e}\). Démontrer que la droite \(\mathcal{D}_{\text{e}}\), d'équation \(y = \text{e}x\), est tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) en son point d'abscisse 1.
  2. La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb R\) de dérivée elle-même.
    La tangente au point d’abscisse \(1\) a pour équation \(y=\text{e}^1(x-1) + \text{e}^1\) soit \(y=\text{e} x\).
    Ainsi \(\mathscr{D}_{\text{e}}\) est bien tangente à la courbe \(\mathscr{C}\) en son point d’abscisse \(1\).
  3. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif \(m\), le nombre de points d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}\) et de la droite \(\mathcal{D}_m\).
  4. On peut conjecturer que :
    – si \(0\le m<\text{e}\) il n’y a pas de point d’intersection
    – si \(m=\text{e}\) il y a un point d’intersection
    – si \(m>\text{e}\) il y a deux points d’intersection
    \(\quad\)
  5. Démontrer cette conjecture.
  6. On appelle \(f_m\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f_m(x)= \text{e}^x-mx\)
    Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que somme de fonctions dérivables.
    \(f_m'(x)=\text{e}^x-m\).
    \(f_m'(x) > 0 \iff x > \ln m\).
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :


    En effet \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^x \left(1 – mx\text{e}^{-x}\right) = +\infty\).
    On utilise la limite usuelle : \( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}= +\infty\) , d'où on déduit \( \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}= 0\)
    Et \(\lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x = 0\) donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x) = +\infty\)
    Si \( 0 < m < \text{e} \) alors en appliquant la fonction \(\ln\) strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), \(\ln m< \ln\text{e}\), soit \(\ln m< 1\)
    Alors \(1-\ln m>0\) et \(m>0\), donc le minimum \(m(1-\ln m )\) de \(f_m\) est strictement positif.
    et la fonction \(f_m\) est toujours positive sur \(\mathbb R\).
    \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}_m\) n’ont donc aucun point en commun.
    \(\quad\)
    Si \(m=\text{e}\) il n’y a qu’un seul point commun car \(m-m\ln m =\text{e}-\text{e}\ln \text{e}= 0\)
    \(\quad\)
    Si \(m> \text{e}\) Ainsi \(m – m\ln m = m(1-\ln m) <0\).
    D'après le théorème de la bijection :
    • $f_m $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; \ln m\right]$.
    • $f_m$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; \ln m\right]$.
    • $\lim\limits_{x \to -\infty}~f_m(x)=+\infty$ et $f_m \left(\ln m\right)=m-m\ln m$
    $f_m$ réalise donc une bijection de $\left]-\infty ; \ln m\right]$ sur $\left[m-m\ln m;+\infty\right[$
    $0\in \left[m-m\ln m;+\infty\right[$,
    donc l'équation $f_m(x) = 0 $ a une racine unique $\alpha$ dans $\left]-\infty ; \ln m\right]$ .

    D'après le théorème de la bijection :
    • $f_m $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[\ln m ; +\infty\right[$.
    • $f_m$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[\ln m ; +\infty\right[$.
    • $f_m \left(\ln m\right)=m-m\ln m$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}~f_m(x)=+\infty$
    $f_m$ réalise donc une bijection de $\left[\ln m ; +\infty\right[$ sur $\left[m-m\ln m;+\infty\right[$
    $0\in \left[m-m\ln m;+\infty\right[$,
    donc l'équation $f_m(x) = 0 $ a une racine unique $\beta$ dans $\left[\ln m ; +\infty\right[$ .

    Il y a donc bien 2 points d’intersection.

Une animation Geogebra :

 

 

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