Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 : Fonction exponentielle et calcul intégral

oui
non
S
Année 2015
Pondichéry
Calcul intégral,Fonction exp
 

Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), la courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y = 3\).

  1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
  2. Justifier que la droite \(\Delta\) est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}\).
  3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 2,999\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb R\). Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-2}\).

Partie B
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x) = 3 - f(x)\).

  1. Justifier que la fonction \(h\) est positive sur \(\mathbb R\).
  2. On désigne par \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)\). Démontrer que \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(\mathbb R\).
  3. Soit \(a\) un réel strictement positif.
    1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x\).
    2. Démontrer que \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)\).
    3. On note \(\mathcal{D}\) l'ensemble des points \(M(x~;~y)\) du plan défini par \(\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.\)
      Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathcal{D}\).
 

Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 

Partie A
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), la courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y = 3\).

  1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
  2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que quotient de fonctions dérivables sur \(\mathbb R\) dont le dénominateur ne s’annule pas (somme de deux réels strictement positifs).
    \[\begin{array}{rl} f'(x) & = \dfrac{-3 \times (-2)\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \\ & = \dfrac{6\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \end{array}\]Le dénominateur est toujours positifs. La fonction exponentielle étant toujours strictement positive, le numérateur l’est aussi.
    par conséquent pour tout réel \(x\), \(f'(x) > 0\).
    La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb R\).
  3. Justifier que la droite \(\Delta\) est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}\).
  4. \(\lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty\) par conséquent \(\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = 1\).
    Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3\)
    La droite \(\Delta\) est donc asymptote à la courbe \(\mathscr{C}\).
  5. Démontrer que l'équation \(f(x) = 2,999\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb R\). Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-2}\).
  6. \(\lim\limits_{x \to -\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = +\infty\).
    Donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

    D'après le théorème de la bijection :
    • $f $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; +\infty\right[$.
    • $f$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left]-\infty ; +\infty\right[$.
    • $\lim\limits_{x \to -\infty}~f(x)=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}~f(x)=3$

    $f$ réalise donc une bijection de $\left]-\infty ; +\infty\right[$ sur $\left]0;3\right[$
    $2,999\in \left]0;3\right[$,
    donc l'équation $f(x) = 2,999 $ a une racine unique $\alpha$ dans $\left]-\infty ; +\infty\right[$ .

    A l’aide de la calculatrice, on trouve \(4 < \alpha < 4,01\).

Partie B
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x) = 3 - f(x)\).

  1. Justifier que la fonction \(h\) est positive sur \(\mathbb R\).
  2. La fonction \(f\) est strictement croissante et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3\).
    Par conséquent, pour tout réel \(x\) on a : \(f(x) < 3\) soit \(3 – f(x) >0\).
    La fonction \(h\) est donc positive sur \(\mathbb R\).
  3. On désigne par \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)\). Démontrer que \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(\mathbb R\).
  4. \(H\) est dérivable sur \(\mathbb R\) en tant que composée de fonctions dérivables.
    \[\begin{array}{rl} H'(x) &= -\dfrac{3}{2} \times -2\text{e}^{-2x} \times \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \end{array}\]
    Or \[\begin{array}{rl} h(x) &= 3 – \dfrac{3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{1 + 3\text{e}^{-2x} – 3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \\ & = H'(x) \end{array}\]Par conséquent \(H\) est bien une primitive de \(h\) sur \(\mathbb R\).
  5. Soit \(a\) un réel strictement positif.
    1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x\).
    2. Puisque \(h\) est une fonction continue et positive, \(\displaystyle \int_0^a h(x)\mathrm{d}x\) correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe représentant la fonction \(h\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=a\). Il s’agit donc de l’aire du domaine située entre \(\Delta\) et \(\mathscr{C}\) entre les deux droites verticales.
    3. Démontrer que \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)\).
    4. \[\begin{array} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x & = H(a) – H(0) \\ & = -\dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{-2a}\right) + \dfrac{3}{2} \ln 2 \\ & = \dfrac{3}{2} \ln \left( \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-2a}}\right) \end{array}\]
    5. On note \(\mathcal{D}\) l'ensemble des points \(M(x~;~y)\) du plan défini par \(\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.\)
      Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathcal{D}\).
    6. L’aire de \(\mathscr{D}\) correspond à \(\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x\).
      Or \(\lim\limits_{a \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2a} = 1\).
      Donc \(\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x = \dfrac{3}{2} \ln 2\)

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
164
Articles
1391
Compteur d'affichages des articles
7120114