Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 : Fonction exponentielle , calcul intégral

oui
S
Année 2016
Amérique du Sud
Calcul intégral,Fonction exp

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\), de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0~;~+ \infty[\). On considère les points A(0,5 ; 1) et B\((0 ; -1)\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\). On sait que O appartient à \(\mathcal{C}_f\) et que la droite (OA) est tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point O.

  1. On suppose que la fonction \(f\) s'écrit sous la forme \(f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels \(a\) et \(b\), en détaillant la démarche.
  2. Désormais, on considère que \(f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}\) pour tout \(x\) appartenant à \([0~;~+ \infty[\)

    1. On admettra que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    2. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
  3. La fonction \(g\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_g\) passe par le point B\((0~;~-1)\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
    1. Déterminer l'expression de \(g(x)\).
    2. Soit \(m\) un réel strictement positif. Calculer \(I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t\) en fonction de \(m\).
    3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m\).
    1. Justifier que \(f\) est une fonction densité de probabilité sur \([0~;~+ \infty[\).
    2. Soit \(X\) une variable aléatoire continue qui admet la fonction \(f\) comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel \(x\) de \([0~;~+ \infty[\), \(P(X \leqslant x) = g(x) + 1\).
    3. En déduire la valeur exacte du réel \(\alpha\) tel que \(P(X \leqslant \alpha) = 0,5\).
    4. Sans utiliser une valeur approchée de \(\alpha\), construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées \((\alpha~;~0)\) en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan correspondant à \(P(X \leqslant \alpha)\).

Annexe de l'exercice 1

 

 
 

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\), de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0~;~+ \infty[\). On considère les points A(0,5 ; 1) et B\((0 ; -1)\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\). On sait que O appartient à \(\mathcal{C}_f\) et que la droite (OA) est tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point O.

  1. On suppose que la fonction \(f\) s'écrit sous la forme \(f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels \(a\) et \(b\), en détaillant la démarche.
  2. On peut lire que \(f(0)=0\) et que \(f'(0)=2\) (coefficient directeur de la tangente \((OA)\)).
    Or \(f(0)=b\) donc \(b=0\)
    La fonction \(f\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) en tant que produit et composition de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a \(f(x)=ax\text{e}^{-x^2}\) car on vient de montrer que \(b=0\).
    \(f'(x)=a\text{e}^{-x^2}-2ax^2\text{e}^{-x^2}\)
    Donc \(f'(0)=a\). Par conséquent \(a=2\).
    \(\quad\)

    Désormais, on considère que \(f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}\) pour tout \(x\) appartenant à \([0~;~+ \infty[\)

    1. On admettra que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty\) et \(\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\).
      Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x^2}}{x^2}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}=0\)
      De plus \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}=0\)
      Par produit on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0\).
      \(\quad\)
    3. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
    4. Pour tout réel \(x\geq 0\), \(f'(x)=2\text{e}^{-x^2}-4x^2\text{e}^{-x^2}=2(1-2x^2)\text{e}^{-x^2}\)
      La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\) donc le signe de \(f'(x)\) ne dépend que de celui de \(1-2x^2\).
      Or \(1-2x^2=\left(1-\sqrt{2}x\right)\times \left(1+\sqrt{x}\right)\).
      Sur \([0;+\infty[\) on a \(\left(1+\sqrt{x}\right) >0\).
      \(1-\sqrt{2}x=0 \iff x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \iff x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
      On en déduit donc le tableau de variation suivant :
      \(f \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=2\times \frac{\sqrt{2}}{2} \text{e}^{-\frac{1}{2}}= \sqrt 2 \times \frac{1}{\text{e}^{\frac{1}{2}}}= \sqrt{\frac{2}{\text{e}}} \)
  3. La fonction \(g\) dont la courbe représentative \(\mathcal{C}_g\) passe par le point B\((0~;~-1)\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \([0~;~+ \infty[\).
    1. Déterminer l'expression de \(g(x)\).
    2. \(f\) est de la forme \(-u’\text{e}^{u}\).
      Donc une primitive de la fonction \(f\) sur \([0;+\infty[\) est de la forme \(g(x)=-\text{e}^{-x^2}+c\).
      On sait que \(g(0)=-1\) puisque la courbe \(\mathscr{C}_g\) passe par le point \(B(0;-1)\).
      Or \(g(0)=-1+c\).
      Par conséquent \(-1+c=-1\) et \(c=0\).
      On en déduit donc que, sur \([0;+\infty[\), une primitive de la fonction \(f\) est la fonction \(g\) définie par \(g(x)=-\text{e}^{-x^2}\) dont la courbe représentative passe par le point \(B\).
      \(\quad\)
    3. Soit \(m\) un réel strictement positif. Calculer \(I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t\) en fonction de \(m\).
    4. \(\begin{align*} I_m&=\int_0^m f(t)\text{d}t \\ &=g(m)-g(0) \\ &=-\text{e}^{-m^2}+1
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    5. Déterminer \(\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m\).
    6. \(\lim\limits_{m \to +\infty} -m^2=-\infty\) et \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0\) donc \(\lim\limits_{m \to +\infty} e^{-x^2}=0\) et \(\lim\limits_{m \to +\infty} I_m=1\)
      \(\quad\)
    1. Justifier que \(f\) est une fonction densité de probabilité sur \([0~;~+ \infty[\).
    2. Pour tout réel \(x\) positif on a : \(2x \geq 0\) et \(\text{e}^{-x^2} \geq 0\) (car la fonction exponentielle est strictement positive).
      Par conséquent \(f(x) \geq 0\). (on pouvait également utiliser le tableau de variation)
      \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\) en tant que produit de fonctions continues sur cet intervalle.
      De plus, d’après la question précédente, \(\lim\limits_{m \to +\infty} \displaystyle \int_0^m f(t)\text{d}t = 0\).
      La fonction \(f\) est donc une fonction densité de probabilité sur \([0;+\infty[\).
      \(\quad\)
    3. Soit \(X\) une variable aléatoire continue qui admet la fonction \(f\) comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel \(x\) de \([0~;~+ \infty[\), \(P(X \leqslant x) = g(x) + 1\).
    4. Pour tout réel \(x\) positif, on a :
      \(P(X \leq x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\text{d}t=g(x)-g(0)=g(x)+1\)
      \(\quad\)
    5. En déduire la valeur exacte du réel \(\alpha\) tel que \(P(X \leqslant \alpha) = 0,5\).
    6. \(\begin{align*} P(X \leq \alpha) = 0,5 &\iff g(\alpha)+1=0,5 \\ &\iff g(\alpha)=-0,5 \\ &\iff -\text{e}^{-\alpha^2}=-0,5 \\ &\iff \text{e}^{-\alpha^2}=0,5 \\ &\iff -\alpha^2 = \ln 0,5 \\ &\iff v^2=-\ln 0,5 \\ &\iff \alpha^2=- \left(-\ln 2\right) \\ &\iff \alpha^2=\ln 2 \\ &\iff \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ ou } \alpha=-\sqrt{\ln 2} \\ &\iff \alpha=\sqrt{\ln 2} \text{ car } \alpha \geq 0
      \end{align*}\)
      \(\quad\)
    7. Sans utiliser une valeur approchée de \(\alpha\), construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées \((\alpha~;~0)\) en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan correspondant à \(P(X \leqslant \alpha)\).

 

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