Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015 : Fonctions et calcul intégral

oui
non
S
Année 2015
Amérique du Sud
Fonctions généralités,Calcul intégral
 

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A


Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((,O;\vec{i},\vec{j} \,)\) on désigne par \(\mathcal{C}_u\) la courbe représentative de la fonction \(u\) définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]où \(a, b\) et \(c\) sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_u\) et la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = 1\).

On précise que la courbe \(\mathcal{C}_u\) passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite \(\mathcal{D}\) sont asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_u\).

  1. Donner les valeurs de \(u(1)\) et \(u(4)\).
  2. Donner \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)\). En déduire la valeur de \(a\).
  3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}\).

 

Partie B


Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0;+ \infty[\) par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

  1. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). On pourra utiliser sans démonstration le fait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\).
  2. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\).
  3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) = u(x)\). En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs particulières.

 

Partie C

 

  1. Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\), exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.
  2. Pour tout réel \(\lambda\) supérieur ou égal à 4, on note \(\mathcal{A}_{\lambda}\) l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points \(M\) de coordonnées \((x;y)\) telles que \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\]Existe-t-il une valeur de \(\lambda\) pour laquelle \(\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}\) ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

 

 

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