Baccalauréat S Métropole 12 septembre 2013 : Fonction exp, Calcul intégral

oui
non
S
Année 2013
Métropole Septembre
Calcul intégral,Fonction exp

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\).
Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe \(\mathcal{C}\) et trois autres courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) avec la tangente en leur point d'abscisse \(0\).

France Metropole septembre 2013 Ex1

  1. Donner par lecture graphique, le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).
  2. On désigne par \(F\) une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    1. À l'aide de la courbe \(\mathcal{C}\), déterminer \(F'(0)\) et \(F'(- 2)\).
    2. L'une des courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) est la courbe représentative de la fonction \(F\).

    3. Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.


Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction \(f\) évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

  1. L'observation de la courbe \(\mathcal{C}\) permet de conjecturer que la fonction \(f\) admet un minimum.
    1. Démontrer que pour tout réel \(x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}\).
    2. En déduire une validation de la conjecture précédente.
  2. On pose \(I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x\).
    1. Interpréter géométriquement le réel \(I\).
    2. Soient \(u\) et \(v\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}\). Vérifier que \(f = 2\left(u'v + uv'\right)\).
    3. En déduire la valeur exacte de l'intégrale \(I\).
  3. On donne l'algorithme ci-dessous. \[\begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables: } & k \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels.}\\ & s \text{ est un nombre réel.}\\ \text{ Entrée :} & \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } n.\\ \text{Initialisation :} & \text{ Affecter à } s \text{ la valeur 0. }\\ \text{ Traitement :} & \text{ Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & | \text{ Affecter à } s \text{ la valeur } s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right). \\ &\text{ Fin de boucle.}\\ \text{ Sortie :} & \text{ Afficher} s.\\ \hline \end{array}\]On note \(s_{n}\) le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de \(n\).
    1. Justifier que \(s_{3}\) représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
      France Metropole septembre 2013 Ex1-fig2
    2. Que dire de la valeur de \(s_{n}\) fournie par l'algorithme proposé lorsque \(n\) devient grand ?

 
 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère \(\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{j}\right)\).
Partie A
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe \(\mathcal{C}\) et trois autres courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) avec la tangente en leur point d'abscisse \(0\).

France Metropole septembre 2013 Ex1

  1. Donner par lecture graphique, le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\).
  2. Graphiquement, \(f(x) < 0\) sur \(]-\infty;-2[\), \(f(x) > 0\) sur \(]-2;+\infty[\) et \(f(-2)=0\).
  3. On désigne par \(F\) une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    1. À l'aide de la courbe \(\mathcal{C}\), déterminer \(F'(0)\) et \(F'(- 2)\).
    2. \(F'(0) = f(0) = 2\) et \(F'(-2)=f(-2) = 0\)
    3. L'une des courbes \(\mathcal{C}_{1}\), \(\mathcal{C}_{2}\), \(\mathcal{C}_{3}\) est la courbe représentative de la fonction \(F\).

    4. Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
  4. La tangente en \(0\) doit avoir un coefficient directeur de \(2\). Sur la courbe \(\mathcal{C}_3\), on constate que ce coefficient directeur est d'environ \(1,5\). Cette courbe ne convient donc pas.
    La tangente en \(-2\) doit être horizontale. Ce n'est pas le cas de la courbe \(\mathcal{C}_2\).
    Il ne reste donc plus que la courbe \(\mathcal{C}_1\).


Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction \(f\) évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

  1. L'observation de la courbe \(\mathcal{C}\) permet de conjecturer que la fonction \(f\) admet un minimum.
    1. Démontrer que pour tout réel \(x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}\).
    2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme composée et produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).
      \(f'(x)=\text{e}^{0,5x} + (x+2) \times 0,5 \times \text{e}^{0,5x} = (0,5x+2)\text{e}^{0,5x} = \dfrac{1}{2}(x+4)\text{e}^{0,5x}\)
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
    4. \(f'(x)\) est donc du signe de \((x+4)\). PAr conséquent \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-4]\) et croissante sur \([-4;+\infty[\). La fonction \(f\) admet donc un minimum en \(-4\).
  2. On pose \(I = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x\).
    1. Interpréter géométriquement le réel \(I\).
    2. La fonction \(f\) est clairement positive et continue sur \([0;1]\).
      \(I\) correspond donc à l’aire (en unité d’aire) comprise entre :
      - les droites d’équation \(x=0\) et \(x=1\);
      - l’axe des abscisses
      - la courbe représentative de \(f\).
    3. Soient \(u\) et \(v\) les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x\) et \(v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}\). Vérifier que \(f = 2\left(u'v + uv'\right)\).
    4. \((u’v+uv’)(x) = \text{e}^{0,5x} + 0,5x\text{e}^{0,5x} = (0,5x+1)\text{e}^{0,5x}\)
      Par conséquent \(f=2(u’v+uv’)\).
    5. En déduire la valeur exacte de l'intégrale \(I\).
    6. Une primitive de \(f\) est donc \(2uv\).
      Par conséquent \(I = 2u(1)v(1) – 2u(0)v(0) = 2\times 1 \times \text{e}^{0,5} -0= 2\text{e}^{0,5} \text{ u.a.}\)
  3. On donne l'algorithme ci-dessous. \[\begin{array}{|ll|}\hline \text{ Variables: } & k \text{ et } n \text{ sont des nombres entiers naturels.}\\ & s \text{ est un nombre réel.}\\ \text{ Entrée :} & \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } n.\\ \text{Initialisation :} & \text{ Affecter à } s \text{ la valeur 0. }\\ \text{ Traitement :} & \text{ Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & | \text{ Affecter à } s \text{ la valeur } s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right). \\ &\text{ Fin de boucle.}\\ \text{ Sortie :} & \text{ Afficher} s.\\ \hline \end{array}\]On note \(s_{n}\) le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de \(n\).
    1. Justifier que \(s_{3}\) représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
      France Metropole septembre 2013 Ex1-fig2
    2. Etudions les différentes valeurs prises par la variable \(s\).
      \(s=0\)
      \(s=0+\dfrac{1}{3}f(0)\) : aire d’un rectangle de l’argeur \(\dfrac{1}{3}\) et de hauteur \(f(0)\).
      \(s=0+\dfrac{1}{3}f(0)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)\) : on ajoute à l’aire précédente, l’aire d’un rectangle de largeur \(\dfrac{1}{3}\) et de hauteur \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)\).
      \(s=0+\dfrac{1}{3}f(0)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{2}{3}\right)\) : on ajoute à l’aire précédente, l’aire d’un rectangle de largeur \(\dfrac{1}{3}\) et de hauteur \(f\left(\dfrac{2}{3}\right)\).
      On obtient, au final, la somme des aires des \(3\) rectangles hachurés.
    3. Que dire de la valeur de \(s_{n}\) fournie par l'algorithme proposé lorsque \(n\) devient grand ?
    4. Plus \(n\) devient grand, plus la largeur des rectangles deviendra petite. Par conséquent les rectangles vont « coller » davantage à la courbe. Cela nous permet donc de calculer une valeur approchée de \(I\).
      Et on a par conséquent \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}s_n=I\).

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