Bac S 2013 Pondichéry Fonction exponentielle

oui
non
S
Année 2013
Pondichéry
Calcul intégral,Fonction exp
 

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]
où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles positives, \(t\) est la variable temps exprimée en jours et \(h(t)\) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu' initialement, pour \(t = 0\), le plant mesure \(0,1\) m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de \(2\) m. Déterminer les constantes \(a\) et \(b\) afin que la fonction \(h\) corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction \(f\) définie sur [0 ; 250] par
\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

  1. Déterminer \(f'(t)\) en fonction de \(t\)  (\(f'\) désignant la fonction dérivée de la fonction \(f\)).En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0 ; 250].
  2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à \(1,5\)m.
    Vérifier que pour tout réel \(t\) appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a \(f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}\). Montrer que la fonction \(F\) définie sur l'intervalle [0;250] par
    \(F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)\) est une primitive de la fonction \(f\).
  3. Déterminer la valeur moyenne valeur moyenne de \(f\) sur l'intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près et interpréter ce résultat.
  4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction \(f\). La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de \(t\).
    En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
 

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