Bac S Nouvelle-Calédonie Mars 2014 Calcul intégral

oui
S
Année 2013
Nouvelle Calédonie
Calcul intégral,Fonction ln

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit \(f\) la fonction dérivable, définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty [\) par
\[f(x) = x\ln (x).\]
  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+ \infty\).
  2. On appelle \(f'\) la fonction dérivée de \(f\) sur \(]0 ; + \infty [\). Montrer que \(f'(x) = \ln(x) + 1\).
  3. Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0 ; + \infty [\).

Partie B
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. Soit \(\mathcal{A}\) l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations respectives \(x = 1\) et \(x = 2\). On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire \(\mathcal{A}\). (voir la figure ci-après).
Nouvelle-Caledonie mars 2014-rectangles
  Algorithme :
\[\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables}&\\ & k \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels }\\ & U, V \text{ sont des nombres réels }\\ \text{Initialisation}&\\ & U \text{ prend la valeur 0}\\ & V \text{ prend la valeur 0}\\ & n \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement}&\\ & \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)\\ & \text{ Affecter à } V \text{ la valeur } V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)\\ & \text{ Fin pour }\\ \text{Affichage} &\\ & \text{ Afficher } U \\ &\text{ Afficher} V\\ \hline \end{array}\]
    1. Que représentent \(U\) et \(V\) sur le graphique précédent ?
    2. Quelles sont les valeurs \(U\) et \(V\) affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de \(U\) par défaut à \(10^{-4}\) près et une valeur approchée par excès de \(V\) à \(10^{-4}\) près) ?
    3. En déduire un encadrement de \(\mathcal{A}\).
  1. Soient les suites \(\left(U_{n}\right)\) et \(\left(V_{n}\right)\) définies pour tout entier \(n\) non nul par :
    \[\begin{array}{l c l} U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right] \end{array}.\]On admettra que, pour tout \(n\) entier naturel non nul, \(U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant V_{n}\).
    1. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(V_{n} - U_{n} < 0,1\).
    2. Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de \(\mathcal{A}\) d'amplitude inférieure à \(0,1\) ?
Partie C
Soit \(F\) la fonction dérivable, définie sur \(]0 ; + \infty[\) par
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]
  1. Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0 ; + \infty[\).
  2. Calculer la valeur exacte de \(\mathcal{A}\).
 

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Partie A
Soit \(f\) la fonction dérivable, définie sur l'intervalle \(]0 ; + \infty [\) par
\[f(x) = x\ln (x).\]
  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+ \infty\).
  2. D'après le cours, on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x\,\ln(x)=0\) donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=0\). \[\left. \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to +\infty}x = +\infty\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \end{array} \right\rbrace \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\,\ln(x) = +\infty \](par produit) donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\).
  3. On appelle \(f'\) la fonction dérivée de \(f\) sur \(]0 ; + \infty [\). Montrer que \(f'(x) = \ln(x) + 1\).
  4. La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\:; +\infty[\) comme produit de fonctions dérivables: \(f'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x)+1\).
  5. % Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0~;~+ \infty [\). On étudie le signe de \(f'(x)\) sur \(]0\:; +\infty[\): \(\ln(x)+1>0 \iff \ln(x) >-1 \iff x > \text{e}^{-1}\) Donc:
    • La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\:; \text{e}^{-1}]\);
    • la fonction \(f\) est strictement croissante sur \([\text{e}^{-1}\:; +\infty[\).
  6. Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0 ; + \infty [\).

Partie B
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormal. Soit \(\mathcal{A}\) l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations respectives \(x = 1\) et \(x = 2\). On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire \(\mathcal{A}\). (voir la figure ci-après).
Nouvelle-Caledonie mars 2014-rectangles
  Algorithme :
\[\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables}&\\ & k \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels }\\ & U, V \text{ sont des nombres réels }\\ \text{Initialisation}&\\ & U \text{ prend la valeur 0}\\ & V \text{ prend la valeur 0}\\ & n \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement}&\\ & \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n - 1\\ & \text{ Affecter à } U \text{ la valeur } U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)\\ & \text{ Affecter à } V \text{ la valeur } V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)\\ & \text{ Fin pour }\\ \text{Affichage} &\\ & \text{ Afficher } U \\ &\text{ Afficher} V\\ \hline \end{array}\]
    1. Que représentent \(U\) et \(V\) sur le graphique précédent ?
    2. Sur la figure ci-dessus, le nombre \(U\) représente la somme des aires des rectangles inférieurs (en rouge); cette somme minore l'aire sous la courbe. Le nombre \(V\) représente la somme des aires des rectangles supérieurs (en bleu); cette somme majore l'aire sous la courbe.
    3. Quelles sont les valeurs \(U\) et \(V\) affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de \(U\) par défaut à \(10^{-4}\) près et une valeur approchée par excès de \(V\) à \(10^{-4}\) près) ?
    4. On fait tourner l'algorithme ci-dessus: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Variables }& k & U & V & n \\ \hline \text{Initialisation }& & 0 & 0 & 4\\ \hline \text{Traitement} & 0 & 0 & 0,0698 & 4 \\ & 1 & 0,0697 & 0,2218 & 4 \\ & 2 & 0,2217 & 0,4667 & 4 \\ & 3 & 0,4666 & 0,8132 & 4 \\ \hline \text{Affichage }& \text{On affiche la valeur de } U: &0,4666 &&\\ & \text{ On affiche la valeur de } V: &&0,8132 & \\ \hline \end{array}\]
    5. En déduire un encadrement de \(\mathcal{A}\).
    6. On peut donc en déduire que \(0,4666 < \mathcal A < 0,8132\).
  1. Soient les suites \(\left(U_{n}\right)\) et \(\left(V_{n}\right)\) définies pour tout entier \(n\) non nul par :
    \[\begin{array}{l c l} U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\ V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right] \end{array}.\]On admettra que, pour tout \(n\) entier naturel non nul, \(U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant V_{n}\).
    1. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(V_{n} - U_{n} < 0,1\).
    2. Sachant que \(U_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\) et que
      \(V_{n} = \dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]\),
      on peut dire que \(V_n - U_n = \dfrac{1}{n}\left (f(2)-f(1)\right ) = \dfrac{2\ln(2)-0}{n}= \dfrac{2\ln(2)}{n}\). \(V_n-U_n < 0,1 \iff \dfrac{2\ln(2)}{n} < 0,1 \iff 2\ln(2) < 0,1\,n \iff \dfrac{2\ln(2)}{0,1} < n\)
      Or \(\dfrac{2\ln(2)}{0,1} \approx 13,86\)
      donc le plus petit entier \(n\) tel que \(V_n-U_n\) soit inférieur à 0,1 est 14.
      Vérification: \(V_{13}-U_{13}\approx 0,107 > 0,1\) et \(V_{14}-U_{14}\approx 0,099 < 0,1\).
    3. Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de \(\mathcal{A}\) d'amplitude inférieure à \(0,1\) ?
    4. Pour obtenir un encadrement de \(\mathcal{A}\) d'amplitude inférieure à \(0,1\) dans l'algorithme, il suffit d'entrer 14 comme valeur de \(n\);
      autrement dit, au lieu de « \(n\) prend la valeur 4», on entrera «\(n\) prend la valeur 14».
Partie C
Soit \(F\) la fonction dérivable, définie sur \(]0 ; + \infty[\) par
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]
  1. Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0 ; + \infty[\).
  2. \(F'(x)= \dfrac{2x}{2}\times \ln(x) + \dfrac{x^{2}}{2}\times \dfrac{1}{x} -\dfrac{2x}{4}= x\ln(x) +\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{2} = x\ln(x)=f(x)\)
    Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(]0\:; +\infty[\).
  3. Calculer la valeur exacte de \(\mathcal{A}\).
  4. La fonction \(f\) est croissante sur \([1\:; 2]\) et \(f(1)=0\) donc la fonction \(f\) est positive sur \([1\:; 2]\);
    on peut donc dire que \(\mathcal A = \displaystyle\int_1^2 f(t) \text{d} t\). \(\mathcal A = \displaystyle\int_1^2 f(t) \text{d} t = F(2)-F(1) = \left (2\ln(2)-1\right ) - \left (-\dfrac{1}{4} \right ) = 2\ln(2)-\dfrac{3}{4}\)
 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
163
Articles
1391
Compteur d'affichages des articles
6995183