Bac S 2014 Liban Fonction exponentielle

oui
S
Année 2014
Liban
Calcul intégral,Fonction exp

Exercice 3 5 points


Fonctions

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\]On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\). Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), calculer \(f'(x)\). En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
  2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

Partie B

Soit \(\mathcal{A}\) la fonction définie sur l'intervalle \([0;~+\infty[\) de la façon suivante :
pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = t\).

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction \(\mathcal{A}\).
  2. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}\) et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction \(\mathcal{A}\)?
  3. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel \(\alpha\) tel que la droite d'équation \(x =\alpha\) partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe \(\mathcal{C}\), en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
    1. Démontrer que l'équation \(\mathcal{A}(t)=\dfrac12\) admet une unique solution sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\)
    2. Sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie sont tracées la courbe \(\mathcal{C}\), ainsi que la courbe \(\Gamma\) représentant la fonction \(\mathcal{A}\).
      Sur le graphique de l' annexe, identifier les courbes \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma\), puis tracer la droite d'équation \(y=\dfrac12\). En déduire une valeur approchée du réel \(\alpha\).
      Hachurer le domaine correspondant à \(\mathcal{A}(\alpha)\).
  4. On définit la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\) par \(g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\).
    1. On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\).
    2. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0;~+\infty[\), calculer \(g'(x)\).
    3. En déduire, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0;~+\infty[\), une expression de \(\mathcal{A}(t)\).
    4. Calculer une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(\mathcal{A}(6)\).

 Annexe :

 
 

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Fonctions

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\]On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

Partie A

  1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\). Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\), calculer \(f'(x)\). En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).
  2. \(f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}=(1 - x)\mathrm{e}^{-x}\) \(\mathrm{e}^{-x}\) étant toujours strictement positif, \(f'(x)\) sera du signe de \(1-x\). Il s'ensuit que \[f'(x)\geqslant0\quad \text{ sur }\quad [0,~1]\quad \text{ et }\quad f'(x)<0\quad \text{ sur }\quad ]1,~+\infty[\]\(f\) est donc croissante sur \([0,~1]\) et décroissante sur \(]1,~+\infty[\).
  3. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\). Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?
  4. On sait que \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}=0\), ce qui signifie que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal{C}\)

Partie B

Soit \(\mathcal{A}\) la fonction définie sur l'intervalle \([0;~+\infty[\) de la façon suivante :
pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)\) est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal{C}\) et les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = t\).

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction \(\mathcal{A}\).
  2. Comme la fonction \(f\) est continue et positive sur l'intervalle \([0;~+\infty[\) alors \[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x\]et donc, pour tout \(t\in [0;~+\infty[\quad \mathcal{A}'(t)=f(t)\) Comme \(f\) est positive sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) il s'ensuit que la fonction \(\mathcal{A}\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\).
  3. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}\) et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction \(\mathcal{A}\)?
  4. On peut en déduire que la fonction \(\mathcal{A}\) a pour limite 1 en \(+\infty\).
  5. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel \(\alpha\) tel que la droite d'équation \(x =\alpha\) partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe \(\mathcal{C}\), en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
    1. Démontrer que l'équation \(\mathcal{A}(t)=\dfrac12\) admet une unique solution sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\)
    2. Dressons le tableau de variations de la fonction \(\mathcal{A}\) sur \([0~;~+\infty[\) :
    3. Sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie sont tracées la courbe \(\mathcal{C}\), ainsi que la courbe \(\Gamma\) représentant la fonction \(\mathcal{A}\).
      Sur le graphique de l' annexe, identifier les courbes \(\mathcal{C}\) et \(\Gamma\), puis tracer la droite d'équation \(y=\dfrac12\). En déduire une valeur approchée du réel \(\alpha\).

    4. Hachurer le domaine correspondant à \(\mathcal{A}(\alpha)\).

  • On définit la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\) par \(g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\).
    1. On note \(g'\) la fonction dérivée de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([0;~+\infty[\).
    2. Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0;~+\infty[\), calculer \(g'(x)\).
  • \(g'(x)= \mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=-x\,\mathrm{e}^{-x}\)

  • En déduire, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0;~+\infty[\), une expression de \(\mathcal{A}(t)\).
  • On remarque que \(g'(x)= -f(x)\), d'où \[\mathcal{A}(t)=\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x =\int_0^t -g'(x)\,\mathrm{d}x=\left[-g(x)\right]_0^t = -g(t)+g(0)=1-(1+t)\mathrm{e}^{-t}\]

  • Calculer une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(\mathcal{A}(6)\).
  • \(\mathcal{A}(6)=1-7\mathrm{e}^{-6}\simeq 0,98\)

     

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